Метод половинного деления в excel пошаговая инструкция

Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [a, b], такое, что f(a)×f(b) — середине отрезка [a, b]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [a, c], если же нет – то на отрезке [c, b]. Схема метода дихотомии приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

если f(a)×f(с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомиипри поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]

a) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.

2 Решение уравнений, используя “Подбор параметра”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например, найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения

Выполните команду меню Сервис/Параметры,во вкладкеВычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:

þ Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение: в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685.

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101.

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”

Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения,доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Последовательность операций нахождения корней следующая:

2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):

þ в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);

þ установить переключатель в положение ‘значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);

þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;

þ в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);

þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.

Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):

þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).

þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).

þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.

þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”

Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения

На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .

Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”

2. Как реализовать метод дихотомии средствами MS Excel?

3. Какие встроенные средства решения уравнений есть в Excel?

4. Как воспользоваться средством Подбор параметра для поиска решения уравнения?

5. Как воспользоваться средством Поиск решения для поиска решения уравнения?

[expert_bq id=»1570″]Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f x 0 в допустимой области определения переменной. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq]
Бабушка приезжает на поезде в гости, Поезд состоит из 20 вагонов. Вы не знаете, в каком вагоне бабушка. Задавая вопросы, на которые можно ответить да, нет — отгадать номер вагона. За сколько вопросов вы это сделаете?

Формула деления в Экселе: 6 простых вариантов

Число положительных корней уравнения (1) равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряду коэффициентов уравнения. Так как при замене «х» на «-у» корни уравнения (1) меняют знаки, то с помощью этой теоремы можно оценить и число отрицательных корней.

Решение уравнений в EXCEL методом половинного деления, методом хорд и касательных.

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] \a, b\ существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Решение уравнение метод половинного деления excel

Часто в классической математике многое выглядит элементарно. Так, если нужно найти экстремум некоторой функции, то предлагается взять ее производную, приравнять нулю, решить полученное уравнение и т.д. Вне сомнения, что первые два действия в состоянии выполнить многие школьники и студенты. Что касается третьего действия, то позвольте усомниться в его элементарности.

Пусть после взятия производной мы пришли к уравнению tg(x)=1/x. Проведем следующие преобразования:
tg(x)=1/x Ю x tg(x)=1 Ю x2 tg=1 Ю x2= 1 / tg(x) Ю x = ±.

Если в приведённой здесь цепочке преобразований ничто не взволновало вашу мысль, то может быть лучше обучение на этом прекратить и заняться чем-нибудь другим, не требующим уровня знаний выше церковно-приходской школы начала XX века.

В самом деле, мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся «мастодонты», знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней — поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

1.1. Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a) ґ f(b) Ј 0, то в указан-ном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x)= x 3 -6x+2=0 видим, что при x ®Ґ f(x)>0, при x ®-Ґ f(x) ґ f(x+h) ґ f(b) Ј 0 (рис. 1), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a) ґ f(c) Ј 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a) e .

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием (b-a)/2 n e , или n

log₂((b-a)/ e ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( e

10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации (рис. 2) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

1.3. Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (рис. 3).

Рис. 3. Метод хорд

Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится «хорда», соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Точка пересечения ее с осью абсцисс

Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:

1.4. Уточнение корней методом касательных (Ньютона)

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы — методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Наиболее популярным из итерационных методов является метод Ньютона (метод касательных).

Рис. 4. Метод касательных

Пусть известно некоторое приближенное значение Z_n корня X * . Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней двумя членами, имеем

Геометрически этот метод предлагает построить касательную к кривой y=f(x) в выбранной точке x=Z_n, найти точку пересечения её с осью абсцисс и принять эту точку за очередное приближение к корню (рис. 4).

Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (рис. 5), либо приводит к другому корню (рис. 6).

Очевидно, что для функций, производная от которых в окрестности корня близка к нулю, использовать метод Ньютона едва ли разумно.

Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

Существуют и другие модификации метода Ньютона.

1.5. Уточнение корней методом простой итерации

Другим представителем итерационных методов является метод простой итерации.

Здесь уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением x= j (x) и строится последовательность значений

Если функция j (x) определена и дифференцируема на некотором интервале, причем | j /(x)| j (x) на этом интервале.

Геометрическая интерпретация процесса представлена на рис. 7. Здесь первые два рисунка (а, б) демонстрируют одностороннее и двустороннее приближение к корню, третий же (в) выступает иллюстрацией расходящегося процесса (| j /(x)| > 1).

Если f ‘(x)>0, то подбор равносильного уравнения можно свести к замене x=x- l Ч f(x), т.е. к выбору j (x)= x- l Ч f(x), где l >0 подбирается так, чтобы в окрестности корня 0 j ‘(x)=1- l Ч f ‘(x) Ј 1. Отсюда может быть построен итерационный процесс

Можно и искусственно подобрать подходящую форму уравнения, например:

Конспект урока информатики в 11-м классе «Исследование математических моделей. Решение уравнений методом половинного деления»

Цели урока:

1. Обучающая– формирование новых знаний, умений и навыков по теме “Моделирование. Исследование математических моделей”, формирование общеучебных и специальных умений и навыков, контроль за усвоением учебного материала.
2. Развивающая– развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала; самостоятельность; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся.
3. Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся. Активизация познавательной и творческой активности учащихся

Задачи урока:

• начать изучение исследования математических моделей,
• начать изучение приближенных методов решения уравнений,
• познакомить учащихся с методом половинного деления,
• познакомить учащихся с приближенным методом решения уравнений с помощью электронных таблиц Excel,
• сформировать у учащихся умение приближенно решать уравнения с помощью электронных таблиц Excel,
• разработать компьютерную модель нахождения корня уравнения на языке Visual Basic,
• формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач по математике,
• развивать межпредметные связи.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютерный класс, оборудованный компьютерами Pentium I и выше, лицензионное ПО: операционная система Windows 97/2000/XP, MS Office 2000 и выше, среда программирования Visual Basic, интерактивная доска, проектор.

Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.
1. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала:

• Что называется уравнением?
• Что называется корнем уравнения?
• Что значит “решить уравнение”?
• Объяснить, как можно графически решить уравнение. (Использовать интерактивную доску, на которой строится график в заранее заготовленной системе координат)
• Как построить график функции в Excel?

1. Изучение нового материала.

Решение уравнений методом половинного деления.

Числовой метод половинного деления

Идея метода состоит в выборе точности решения и сведении первоначального отрезка [А;В], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности. Процесс сводится к последовательному делению отрезков пополам точкой С=(А+В)/2 и отбрасыванию той половины отрезка ([А;С] или [С;В]), на котором корня нет.

Выбор нужной половины отрезка основывается на проверке знаков значений функции на его краях. Выбирается та половина, на которой произведение значений функции на краях отрицательно, то есть где функция пересекает ось абсцисс.

Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности. Деление этого отрезка пополам дает значение корня х=(А+В)/2 с заданной точностью. (Объяснение материала сопровождается презентацией)

Приближенное решение уравнений с помощью электронных таблиц Excel.

Задача: решить уравнение x 3 =cosx

Чтобы решить уравнение графически, введем функцию у= x 3 — cosx

На интерактивной доске демонстрируется таблица значений функции на промежутке

[-2,5; 2,5] с шагом h=0,5 (заготовлена заранее). Построим график этой функции. На промежутке (-2,5; 2,5) график имеет одну точку пересечения с осью абсцисс, значит, на этом промежутке уравнение имеет один корень.

1. Разработка компьютерной модели нахождения корня уравнения на языке Visual Basic (Приложение 3)

Проект “Приближенное решение уравнения” (Приложение1)

1. Поместить на форму текстовые поля для ввода числовых значений концов отрезка А и В, поле для ввода точности вычислений и поле для вывода значений корня.

2. Поместить на форму кнопку и создать событийную процедуру, вычисляющую корень уравнения методом половинного деления:

Private Sub Комманда1_Click()

dblC = (dblA + dblB) / 2

If (dblA ^ 3 — Cos(dblA)) * (dblC ^ 3 — Cos(dblC)) dblE

Текст8.Text = (dblA + dblB) / 2

End Sub

1. Закрепление материала. Проверка качества усвоения материала.

Работа на компьютерах. Учащиеся получают задание (Приложение 2) решить уравнения в Excel и проверить правильность выполнения задания, используя программу, разработанную на Visual Basic.

Определить корни уравнения графически. Уточнить один из корней уравнения с точностью e =0,1.